come capire se una funzione è una funzione polinomiale


Risposta 1:

Una funzione è una mappatura, cioè una ricetta che restituisce un numero reale per (qualsiasi) dato numero reale. (Alcune funzioni sono definite solo su un sottoinsieme dei numeri reali, però.) Il numero di input è spesso scritto come x; e l'output è spesso chiamato y; se la funzione è chiamata f, il valore della funzione può essere scritto come y = f (x).

Un polinomio (in una variabile x) è solo una somma finita di monomi; e un monomio (in x) è una potenza intera di x volte un numero reale. (Gli esponenti di x possono variare da 0 fino a qualsiasi numero intero positivo.) Esempi di monomi sono: x ^ 3; 4,5x ^ 3; - \ frac53x ^ 3; x ^ {777}; 1; 5x; -6,5; e così via.

Un polinomio di per sé non è (ancora) una funzione; ma puoi facilmente costruire una funzione definendo il valore di output per qualsiasi numero di input a come il valore che ottieni quando sostituisci tutte le x nell'espressione polinomiale con a. Ad esempio, il polinomio 3x ^ 3–5,5x + 7 dà origine alla funzione y = f (x) = 3x ^ 3–5,5x + 7, ovvero: una funzione per la quale l'output per es. Input 4 è uguale a 3 \ cdot4 ^ 3–5,5 \ cdot4 + 7 = 177. O più in generale, dove l'uscita per l'ingresso a è 3a ^ 3–5,5a + 7.

Come puoi immaginare, un polinomio sarà spesso chiamato funzione, poiché definisce naturalmente una funzione per tutti i possibili input di numeri reali.

D'altra parte, ci sono molte funzioni che non sono polinomi. Forse uno degli esempi più semplici sarebbe y = f (x) = 2 ^ x. Un altro molto semplice (ma che non è definito per x = 0) è y = f (x) = \ frac1x.


Risposta 2:

Praticamente tutto può essere chiamato una funzione:

\ displaystyle f (x) = \ frac 1x

È una funzione, ma sicuramente non un polinomio.

Un polinomio è definito come la somma dei monomi, che sono definiti come prodotti di variabili con indici integrali positivi e alcuni termini costanti.

Poiché \ displaystyle \ dfrac 1x = x ^ {- 1}, significa che non può essere un polinomio.

Una funzione è solo un'azione per mappare qualcosa su un'altra cosa. Ad esempio, la funzione di cui sopra è tutti i numeri reali tranne 0, mappati su tutti i numeri reali tranne 0.

Sembra che il polinomio sia definito più rigoroso di una funzione, giusto?

Ebbene, la definizione di funzione può anche essere rigida: x ^ 2 + y ^ 2-1 = 0 non è una funzione, perché per ogni input in x, ci sono due input in y (eccetto 1 e -1). Le funzioni devono essere molti a uno o uno a uno, ma non uno a molti.

In questo senso, x ^ 2 + y ^ 2-c è un polinomio legittimo, ma se si deve considerare y = f (x), allora non è affatto una funzione.

Sono una specie di gergo tecnico. Quindi potresti aver bisogno di memorizzare questi concetti.


Risposta 3:

Un polinomio è un membro dell'anello polinomiale in X su un dato anello R, indicato con R [X]. In altre parole, è un'espressione finita della forma

a_0 + a_1 X ^ 1 + a_2 X ^ 2 + \ cdots + a_n X ^ n

O induttivamente, è la somma

\ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n} a_k X ^ k

dove

\ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {0} a_k X ^ k = a_0

e

\ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n} a_k X ^ k = \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} a_k X ^ k + a_n X ^ n

Possiamo anche rappresentarli semplicemente come elenchi finiti:

(a_0, a_1, a_2, \ cdots, a_n)

O anche come sequenze infinite in cui solo finitamente molti dei termini sono diversi da zero:

(a_0, a_1, \ cdots, a_k, \ cdots)

Definiamo l'addizione polinomiale aggiungendo i componenti corrispondenti:

(a_0, \ cdots, a_k \ cdots) + (b_0, \ cdots b_j, \ cdots)

= (a_0 + b_0, \ cdots, b_n + a_n, \ cdots)

e la moltiplicazione polinomiale è definita come segue:

(a_0, \ cdots, a_k, \ cdots) \ cdot (b_0, \ cdots, b_j, \ cdots)

= (s_0, \ cdots, s_n, \ cdots)

dove

s_n = \ sum_ {j = 1} ^ {n} a_ {j} b_ {nj}

O equivalentemente,

\ displaystyle \ left (\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} a_k X ^ k \ right) \ cdot \ left (\ sum_ {j = 0} ^ {\ infty} b_j X ^ j \ right)

\ displaystyle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} a_k b_ {nk} X ^ {n}

che ha solo un numero finito di coefficienti diversi da zero. Infatti, possiamo assegnare a un polinomio P = (a_0, \ cdots, a_k, \ cdots) un numero \ deg (P), cioè il grado di P, che dà il più grande n tale che a_n è diverso da zero. Il grado di (0,0, \ cdots) non è definito, o talvolta- \ infty.

Infine, nota che come anello di base R, potremmo prendere un anello che è già l'anello polinomiale su un anello K, quindi potremmo avere K [Y] [X], per esempio. In generale, possiamo definire induttivamente

K [X_1, \ cdots, X_n]: = K [X_1, \ cdots, X_ {n-1}] [X_n]

come anello polinomiale in n variabili su K.

Ora chiaramente, ogni polinomio P può essere usato per costruire una funzione da K ^ n a K. Prendiamo semplicemente

f_P: da K ^ n \ a K

(x_1, \ cdots, x_n) \ mapsto P (x_1, \ cdots, x_n)

dove P (x_1, \ cdots, x_n) è l'espressione P (X_1, \ cdots, X_n) dove gli indeterminati X_k sono sostituiti dai loro corrispondenti elementi elencati x_k in K e valutati nell'anello.


Una funzione stessa, d'altra parte, è un tipo di oggetto completamente diverso. Se abbiamo due insiemi A e B, allora possiamo formare il prodotto cartesiano

A × B: = \ {(a, b): a \ in A, b \ in B \}

che è l'insieme di tutte le coppie ordinate (a, b) con a \ in A nel componente sinistro eb \ in B nel componente destro.

Una funzione f: A \ to B è una coppia (G_f, B) costituita da un sottoinsieme G_f del prodotto cartesiano A × B, chiamato grafico di f: A \ to B, insieme alla specifica che il codominio è l'insieme B, che soddisfa due proprietà:

  1. Per ogni a \ in A, c'è un po 'di f (a) \ in B tale che (a, f (a)) \ in G_f; e
  2. Se (a, b) e (a, c) appartengono entrambi a G_f, allora b = c.

La ragione per cui dobbiamo specificare il codominio come B è che una funzione non è generalmente determinata dal suo grafico. Una funzione mappa in un insieme specifico chiamato codominio, ma la sua immagine è solo il codominio se la funzione è suriettiva. Dal solo grafico di f: A \ a B, possiamo determinare abbastanza facilmente il dominio di f, ma possiamo solo determinare l'immagine di f, non il suo codominio.

Chiaramente i polinomi hanno più struttura di questa: sono definiti su un anello, formano un anello, può essere assegnata loro una funzione di grado. Possono avere molte altre belle proprietà. Inoltre non hanno bisogno di essere set persay, sebbene possano essere realizzati come set con una particolare struttura algebrica. Tuttavia non è necessario pensarle in questo modo, mentre le funzioni devono esserlo per definizione.


Risposta 4:

Una funzione, in matematica, è qualsiasi espressione matematica che riceve input, fa qualcosa e produce un output. È spesso rappresentato da f (x), dove x è un input e f rappresenta ciò che accade all'input.

Un polinomio è un tipo specifico di espressione che è la somma di più termini inclusi solo positivi, potenze intere di x, coefficienti numerici e costanti.

Ogni polinomio può essere considerato una funzione; la maggior parte delle funzioni non sono polinomi.


Risposta 5:

Le funzioni sono in generale una relazione tra 2 insiemi A, B.

Quindi cosa fa una funzione, assegna a ogni elemento in A esattamente uno in B.

Un polinomio non è necessariamente una funzione. È solo una somma finita della forma:

\ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ na_ix ^ i

e questi a_i possono essere molto di più di quanto potresti immaginare.

Una funzione polinomiale può essere espressa come un polinomio.

Ciò significa che alcuni c \ in A verranno assegnati

\ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ na_ic ^ i quale ofcourse deve essere definito e in B

Quindi non tutte le funzioni sono polinomi. E non tutti i polinomi sono funzioni.